Formules de dérivation

On a vu la formule: $f\prime (x)=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ qui permet de calculer la dérivée d'une fonction. En pratique, on ne l'utilise jamais, on utilise des formules que nous allons maintenant établir.

Dérivée d'une somme

Démonstration:

Soit donc $f:[a,b]\mapsto ℝ$ et $g:[a,b]\mapsto ℝ$ deux fonctions dérivables. On doit dériver $f+g$, donc:

Dérivée d'un produit

Démonstration:

Soit donc $f:[a,b]\mapsto ℝ$ et $g:[a,b]\mapsto ℝ$ deux fonctions dérivables. On doit dériver $fg$, donc:

On rajoute le terme $-f(x)g(x+h)$ pour faire apparaître la dérivée de $f$:

Dérivée d'un quotient

Démonstration:

On doit d'abord montrer que ${\left(\frac{1}{g}\right)}^{\prime }(x)=-\frac{g\prime (x)}{(g(x){)}^2}$:

On a donc:

On utilise à la deuxième ligne la formule de la dérivée d'un produit.

Dérivée d'une fonction composée

Démonstration:

Posons maintenant: $\alpha =f(x+h)-f(x)$, on a: $\underset{h\to 0}{lim}\alpha =\underset{h\to 0}{lim}(f(x+h)-f(x))=0$: